什么是周期函数？

周期性是三角函数最重要的性质之一，虽然教科书中给出了周期函数的定义，但我们对周期函数的有关问题确实是知之甚少，本文对有关周期函数的有关问题进行简要的概述以满足读者的求知要求.?

一个周期函数不一定存在正周期.比如大家熟知的y＝sinx，x∈（－∞，0），既便是存在正周期也不见得存在最小正周期，比如常数函数f(x)=a，狄立克莱(Dirichlet)函数f(x)=

等，一个周期是否是函数的最小正周期，一般要用反证法进行严格的证明

.比如2π是y＝sinx，x∈R；y＝cosx，x∈R的最小正周期，π是y＝tanx，x∈R，x≠

＋kπ，k∈Z的最小正周期，

是y＝｜sinx｜＋｜cosx｜的最小正周期等.

当然，有很多与三角函数有关的函数也不一

定是周期函数，例如y＝sinx，x∈〔－100π，100π〕，y＝sin

，y＝sin｜x｜?，y＝sinx2，y＝sin

等等.?

两个周期函数的和一定是周期函数吗?结论是否定的.比如y＝sinx＋cos

x就不是周期函数.而两个周期函数的和如果是周期函数，这个周期函数也不一定存在最小正周期，像y＝sin2x＋cos2x.

又如两个周期相同的周期函数相加得到的理应是周期函数，但它的最小正周期却有可能发生变化，比如y＝cotx与y＝tanx的周期是π，而y＝cotx－tanx＝2cot2x的周期是

.

对于确定函数的最小正周期的确是比较困难，教科书也只要求能化为y＝Asin（ωx＋φ）形式的函数，或者根据函数的图象直观地求出它们的最小正周期.

二、有关最小正周期和非周期函数问题的证明

本文将对上文涉及到的问题给以严格的证明

例1

证明f(x)=sinx，x∈R的最小正周期是2π

证明：（1）f（x＋2π）＝sin（x＋2π）＝sinx＝f（x）

(2)假设存在0＜T＜2π使f（x＋T）＝f（x）

即sin（x＋T）＝sinx，x∈R

令x＝0则sinT＝0又0＜T＜2π

则T＝π

令x＝

，sin（

＋T）＝sin

即sin

＝sin

此为矛盾

由(1)(2)两步可知2π为f(x)=sinx的最小正周期

例2

证明f（x）＝｜sinx｜＋｜cosx｜的最小正周期为

，

证明：（1）f（x＋

）＝｜sin（x＋

）｜＋｜cos（x＋

）｜

＝｜cosx｜＋｜sinx｜＝f（x）

(2)假设存在0＜T＜

使f（x＋T）＝f（x）

即｜sin（x＋T）｜＋｜cos（x＋T）｜＝｜sinx｜＋｜cosx｜

令x＝0得sinT＋cosT＝1

即sin（T＋

）＝

又0＜T＜

，

＜T＋

＜

∴sin（T＋

）＞

此为矛盾

由(1)(2)两步可知

为f（x）＝｜sinx｜＋｜cosx｜的最小正周期.

例3证明f（x）＝sin

不是周期函数.

证明：假设f(x)=sin

是周期函数则存在T≠0使f（x＋T）＝f（x）

即sin

令x＝0则sin

＝0

则

＝kπ，k∈Z

①

令x＝T则sin

∴

＝nπ，n∈Z

②

②÷①得

（n∈Z，k∈Z）此为矛盾

∴f（x）＝sin

不是周期函数.

例4

证明f(x)=sinx＋cos

x不是周期函数.

证明：假设f（x）＝sinx＋cos

x是周期函数，则存在T≠0使f（x＋T）＝f（x），即sin（x＋T）＋cos

（x＋T）＝sinx＋cos

x

令x＝0，cos

T＝1，则

T＝2kπ，k∈Z

①

令x＝－T，sin（－T）＋cos

T＝1

即sinT＝0，则

T＝nπ，n∈Z

②

①÷②得

此为矛盾.

因此f（x）＝sinx＋cos

x不是周期函数.

上述有关最小正周期和非周期函数的证明都是采用了反证法.

什么是周期函数

       对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

定义

     设f（x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x），则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。

     由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期，譬如狄利克雷函数。

性质

周期函数的性质 [2]  共分以下几个类型：

（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。

（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。

（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。

（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。

（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。

判定定理

周期函数定理，一共分以下几个类型。

定理1

若f（x）是在数集M上以T*为最小正周期的周期函数，则K f（x）+C（K≠0）和1/ f（x）分别是集M和集{X/ f（x） ≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。

证：

∵T*是f（x）的周期，∴对 有X±T* 且f（x+T*）= f（x），∴K f（x）+C=K f（x+T*）+C，

∴K f（x）+C也是M上以T*为周期的周期函数。

假设T* 不是Kf（x）+C的最小正周期，则必存在T’（0T’T*）是K f（x）+C的周期，则对T’（0T’T*）是K f（x）+C的周期，有K f（x+T’）+C=K f（x） +C ，K[f（x+T’）- f（x）]=0，∵K≠0，∴f（x+T’）- f（x）=0，∴f（x+T’）= f（x），

∴T’是f（x）的周期，与T*是f（x）的最小正周期矛盾，∴T*也是K f（x）+C的最小正周期。

同理可证1/ f（x）是集{X/ f（x） ≠0，X }上的以T*为最小正周期的周期函数。 [1]

定理2

若f（x）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f（ax+b）是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。

证：

先证f（ax+b）的周期。

∵T*是f（x）的周期，∴f（x±T*）=f（x），有X±T*∈M，以ax+b替换x得，f（ax±T*+b）=f（ax+b），此时ax+b∈M，提取a为公因式得，f[a（x+T*/a）+b]=f（ax+b）∴T*/a是f（ax+b）的周期。

再证是f（ax+b）的最小正周期。

假设存在T’/a（0T’T*；）是f（ax+b）的周期，则f（a（x+T’/a）+b）=f（ax+b），用x/a-b/a替换x，得f（x+T’）=f（x）

∴T’是f（x）的周期，但 T’T*这与T*是f（x）的最小正周期矛盾。

∴不存在T’/a（0T’T*；）是f（ax+b）的周期，即f（ax+b）的最小正周期为T*/ a。 [1]

定理3

设f（u）是定义在集M上的函数，u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g（x）∈M，则复合函数f（g（x））是M1上的周期函数。

证：

设T是u=g（x）的周期，则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g（x）∴f（g（x+T））=f（g（x））

∴=f（g（x））是M1上的周期函数。

例1

设=f（u）=u2是非周期函数，u= g（x）=cosx是实数集R上的周期函数，则f（g（x））=cos2x是R上的周期函数。

同理可得：⑴f（x）=Sin（cosx），⑵f（x）=Sin（tgx），⑶f（x）=Sin2x，⑷f（n）=Log2Sinx（sinx0）也都是周期函数。

例2

f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0）是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。

例3

f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。

证：假设cos 是周期函数，则存在T0使cos （k∈Z） 与定义中T是与X无关的常数矛盾，

∴cos 不是周期函数。

由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u= g(X）是非周期函数，这时f(g(x））可能是，也可能不是周期函数。 [1]

定理4

设f1（x）、f2（x）都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍 数为它们的周期。 [1]

证：

设 （（p·q)=1）设T=T1q=T2p，则有：有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X）±f2(X) ，∴f1(X) ±f2(X）是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证：f1（x）、f2（x）是以T为周期的周期函数。

推论

设f1（x） 、f2（x）……fn（x） 是集合M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期，若， … （或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。

例1

f（x）=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍数2π为周期的周期函数。

例2

讨论f(X)= 的周期性。

解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。

5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。

tg2 是以T3=为最小正周期的周期函数。

又都是有理数

∴f（x）是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）=为最小正周期的周期函数。

同理可证：

⑴f（x）=cos ；

⑵f（x）=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。

定理5

设f1（x）=sin a1x，f2（x）=cos a2x，则f1（x）与f2（x）之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。

证：

先证充分性：

若a1/a2∈Q，设T1、T2分别为f1（x）与f2（x）的最小正周期 ，由定理4，可得f1（x）与f2（x）之和、差、积是周期函数。

再证必要性（仅就f1（x）与f2（x）的差和积加以证明）。

⑴设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T0，

使sina1（x+T）-sina1x=cosa2（x+T）-cosa2x 2cos（a1x+T）sin = -2sin（a2x+T）sin ⑴。

令x= 得2cos（a1x+T），则 （K∈Z）。⑵

或 C∈Z⑶

又在⑴中令 2sin（a2x+T)sin =-2sin =0

由⑷

由sin ⑸

由上述⑵与⑶，⑷与⑸都分别至少有一个成立。

由⑶、⑸得⑹

∴无论⑵、⑷、⑹中那一式成立都有a1/a2。

⑵设sinaxcosa2x为周期函数，则 是周期函数。

判定方法

周期函数的判定方法分为以下几步：

（1）判断f（x）的定义域是否有界；

例：f（x）=cosx（≤10）不是周期函数。

（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f（x+T）= f（x）中是与x无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f（x+T）- f（x）=0，若能解出与x无关的非零常数T便可断定函数f（x）是周期函数，若这样的T不存在则f（x）为非周期函数。

例：f（x）=cosx^2 是非周期函数。

（3）一般用反证法证明。（若f（x）是周期函数，推出矛盾，从而得出f（x）是非周期函数）。

例：证f（x）=ax+b(a≠0）是非周期函数。

证：假设f（x）=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使之成立 ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0，aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f（x）是非周期函数。

例：证f（x）= ax+b是非周期函数。

证：假设f（x）是周期函数，则必存在T（≠0）对 ，有（x+T）= f（x），当x=0时，f（x）=0，但x+T≠0，∴f（x+T）=1，∴f（x+T） ≠f（x）与f（x+T）= f（x）矛盾，∴f（x）是非周期函数。

高中数学中什么是周期函数？

一、周期定义

一般地，如果存在一个非零常数T，使得对于函数f(x)的定义域中的任意一个x和x+T，都有f(x+T)=f(x)。那么，函数f(x)就叫做周期函数，并且把非零常数T叫作这个函数的一个周期。

【注】一般情况下，如果一个周期函数有最小正周期的话，“周期”通常指的都是这个周期函数的“最小正周期”。

二、中学数学常用到的周期函数的公式

1、设周期函数y=f(x)的周期（最小正周期）为T，则f(x+nT)=f(x)，f(x-nT)=f(x)。这里的n可以是任意整数。

2、设周期函数y=f(x)的周期（最小正周期）为T，则y=f(x)+b、y=Af(x)、y=Af(x)+b，（注：A不等于0），都是最小正周期为T的周期函数。

3、设周期函数y=f(x)的周期（最小正周期）为T，则y=f(wx)+b、y=Af(wx)、y=Af(wx)+b都是周期函数，并且最小正周期为“T/|w|”。（注：A、w都不为0）

三、高中数学常见的周期函数的周期

1、（1）y=sinx ，最小正周期T=2π；

（2）y=|sinx|，最小正周期T= π。

2、（1）y=cosx，最小正周期T=2π；

（2）y=|cosx|，最小正周期T= π。

3、（1）y=tanx，最小正周期T=π；

（2）y=cotx，最小正周期T=π。

4、y=Asin(wx+φ)+b，最小正周期T=2π/|w|。

（注：“A”、“w”为非0常数，下同。）

5、y=Acos(wx+φ)+b，最小正周期T=2π/|w|。

6、y=Atan(wx+φ)+b，最小正周期T=π/|w|。

7、常函数“y=c（c为常数）”，是以任意非零常数为周期的周期函数。

【注】常函数没有最小正周期。

周期函数的定义是什么

定义

存在非零常数t，对于任意定义域中的x都成立

1)f(x±t)=f(x)

2)f(x+t)=f(x)

则称f(x)是周期函数，t是他的一个周期

如果采用1)，那么周期函数的定义域必然是两端无界，如果采用2)，那么只需要一端无界

严格按照课本，如果课本上没有明确定义，我想像高考这种考试会避开这类问题。

因为这种定义，是观察了实际中的事物或现象后，在数学上找一个可以反映这种规律的数学定义，很难说哪一种定义更符合人们的初衷.我不认为有哪种说法错误,哪种说法正确.

另外,"百度百科上这么说周期函数f(x)的定义域m必定是双方无界的集合。他的意思就是说实数集r了"中,"双方无界"并不一定是实数集.如y=tanx.

函数周期是指什么？

函数的周期性定义：若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

1、y=sinx/cosx=tanx，T=Pi 。

2、周期函数的积;商:y=y1y2，y=y1/y2的周期的情况比较复杂,只能够化成一个角的一个函数以后在来求周期。例如 ：

y=sinxcosx=1/2*sin2x,T=Pi 。

y=(sinx)^2+(cosx)^2,T∈R。

y=sin3x/sinx=3-4(sinx)^2=2+cos2x,T=Pi。

它的周期似乎与T(sin3x)=2P1/3和T(sinx)=2Pi的关系不大，此外二无理数之间不存在公倍数。

函数周期性

函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。

当自变量增大任意实数时（自变量有意义），函数值有规律的重复出现。

假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期。

周期函数是怎么定义的？

首先判断函数在这个点x0是否有定义，即f(x0)是否存在；其次判断f(x0)是否连续，即f(x0-), f(x0+), f(x0)三者是否相等；再次判断函数在x0的左右导数是否存在且相等，即f‘(x0-)=f'(x0+)，只有以上都满足了，则函数在x0处才可导。

可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导。

如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。

周期函数有以下性质：

（1）若T（T≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。

（2）若T（T≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。

（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则  也是f（x）的周期。

（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

（5）T*是f（x）的最小正周期，且T1、T2分别是f（x）的两个周期，则T1/T2∈Q（Q是有理数集）

（6）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。

关于周期函数的定义和周期函数的八个基本公式的介绍到此就结束了，不知道你从中找到你需要的信息了吗 ？如果你还想了解更多这方面的信息，记得收藏关注本站。