质数问题解题技巧和方法 巧用质数2妙解竞赛题?数学竞赛中，常常涉及质数问题，而对于质数问题，往往隐藏着质数2，一旦发现了2，问题便迎刃而解．质数2究竟有哪些特征和性质呢？首先，质数2是最小的质数，又是质数中唯一的偶数，它有以下的简单的性质：，接下来我们就来聊聊关于质数问题解题技巧和方法 巧用质数2妙解竞赛题?以下内容大家不妨参考一二希望能帮到您!

质数问题解题技巧和方法 巧用质数2妙解竞赛题

数学竞赛中，常常涉及质数问题，而对于质数问题，往往隐藏着质数2，一旦发现了2，问题便迎刃而解．质数2究竟有哪些特征和性质呢？首先，质数2是最小的质数，又是质数中唯一的偶数，它有以下的简单的性质：

1．若两个（或偶数个）质数的和、差为奇数，则其中必有一个质数是2；

2．若三个（或奇数个）质数的和、差为偶数，则其中必有一个质数是2；

3．若几个质数的积为偶数，则其中必有一个质数是2；

4．大于2的质数都是奇质数．

利用这些简单的性质可以解决竞赛中许多有关质数的问题．请看：

例1（2001年江苏省初中数学竞赛题）已知a是质数，b是奇数，且a^2＋b＝2001，则a＋b＝＿＿＿．

分析与解：因为a^2＋b＝2001为奇数，

所以a^2与b必为一奇一偶，

因为b为奇数，所以a^2是偶数，

因为a为质数，所以a＝2，

所以b＝1997，

所以a＋b＝1999．

例2（2013"希望杯"初一第2试）若a，b，c都是质数，其中a最小，且a＋b＋c＝44，ab＋3＝c，则ab＋c＝ ．

分析与解：因为a＋b＋c＝44为奇数，由性质2，知a、b、c中有一个数是质数2，

因为a最小，所以a＝2，

代入a＋b＋c＝44，ab＋3＝c，得

b＋c＝42，2b＋3＝c，

解之，得b＝13，c＝29，

所以ab＋c＝2×13＋29＝55．

例3（1996年北京初二数学竞赛复赛题）p是质数，并且p^6＋3也是质数，则p^11－52＝ ．

分析与解：因为p为质数，所以p^6＋3＞2，由性质4，得

p^6＋3是奇数，

所以p^6是偶数，p是偶数，

又p是质数，所以p＝2．

所以p^11－52＝2 ^11－52＝1996．

例4（2000年希望杯试题）已知一个三角形的三条边的长分别是a、b、c（a、b、c都是质数），且a＋b＋c＝16，则这个三角形是（ ）

A．直角三角形；B．等腰三角形；

C．等边三角形；D．直角三角形或等腰三角形．

分析与解：因为a、b、c都是质数，且a＋b＋c＝16为偶数，

所以a、b、c中有一个是2，

不妨设c＝2，则a＋b＝14．

由三角形三边关系，知|a－b|＜2，

所以满足条件的质数a、b只能是a＝b＝7，

所以三角形为等腰三角形，选B．

例5（1998年全国初中数学竞赛题）若质数p、q满足3p＋5q＝31，则p^q q^p的值是＿＿＿．

分析与解：因为3p＋5q＝31，所以3p与5q为一奇一偶．

若3p为奇数，则5q为偶数，从而q＝2，

代入已知式，得p＝7，从而p^q q^p＝177；

若3p为偶数，则p＝2，从而q＝5，

所以p^q q^p＝57．

综上，p^q q^p的值为177或57．

例6（2013"希望杯"初一培训题）自然数n是两个质数的乘积，这个自然数包含1，但不包含n的所有因数的和等于1000，则n的值是（ ）

A．1994 B．1496 C．2090 D．2013

分析与解：设n＝pq（p、q为质数），

则由规定n的因数为1，p，q，

所以1＋p＋q＝1000，

所以p＋q＝999为奇数，

所以p、q中必有一个为2，

设p＝2，则q＝997，

所以n＝2×997＝1994．选A．

例7（1995年安徽省初中数学竞赛题）已知p、q为质数，且p、q是方程x^2-19x m=0的两根，则m＝＿＿＿．

分析与解：由根和系数的关系，得p＋q＝19，

因为p、q为质数，所以其中有一个是2，不妨设p＝2，

则q＝17，所以由pq＝m，

所以m＝2×17＝34．

例8（2001年全国初中数学竞赛题）如果a、b是质数，且a^2－13a＋m＝0，b^2－13b＋m＝0，那么b/a a/b的值为（ ）

A．123/22 B．125/22或2 C．125/22 D．123/22或2．

分析与解：若a＝b，则b/a a/b＝2；

若a≠b，则由已知等式知：a、b是关于x的方程

x^2－13x＋m＝0的两根，

由韦达定理，得

a＋b＝13，ab＝m，

因为a、b为质数，所以a、b中必有一个是2，

由求值式中a、b的对称性，不妨设a＝2，

则b＝11，m＝22，

故b/a a/b＝(a^2 b^2)/(ab)=[(a b)^2-2ab]/(ab)

＝125/22.

综上，b/a a/b的值为2或125/22，选B．

例9（2002年江苏省初一数学竞赛题）已知三个质数a、b、c满足a＋b＋c＋abc＝99，那么｜a－b｜＋｜b－c｜＋｜c－a｜的值等于＿＿

分析：如果a、b、c都是奇数，则abc也是奇数，与已知不符，故a、b、c必有一个是偶质数2，不妨设a＝2，则b＋c＋2bc＝97，

若b、c全是奇数，则b＋c是偶数，与已知不符，故b、c中又有一个偶质数2，不妨设b＝2，则c＝19，

故｜a－b｜＋｜b－c｜＋｜c－a｜＝34．

例10（2013"希望杯"初一第1试）如果四个不同的质数的和为37，那么这样的四个质数乘积的最大值是 ，最小值是 ．

分析与解：设四个不同的质数为a、b、c、d，且a＜b＜c＜d，

则由a＋b＋c＋d＝37为奇数可知a＝2，

所以b＋c＋d＝35．

若b＝3，则c＋d＝32，

所以c＝13，d＝19，

所以abcd＝2×3×13×19＝1482；

若b＝5，则c＋d＝30，

所以c＝13，d＝17，

所以abcd＝2×5×13×17＝2210；

若b＝7，则c＋d＝28，

所以c＝11，d＝17，a

所以bcd＝2×7×11×17＝2618；

若b＝11，则c＋d＝24，

所以c＝11，d＝13，与b<c不符．

综上，abcd的最大值为2618，最小值为1482．

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