分布函数性质
分布函数是一个普遍的函数,正是通过它,我们将能用数学分析的方法来研究随机变量。分布函数性质:(1)非负有界性0≤F(X)≤1(2)单调不减性(3)右连续性 F(x+0)=F(x)
分布函数性质
分布函数f(x)的基本性质是什么?
分布函数(Cumulative Distribution Function, CDF)是概率统计中重要的函数,正是通过它,可用数学分析的方法来研究随机变量。
概率密度和分布函数的区别是概念不同、描述对象不同、求解方式不同。
1、概念不同:概率指事件随机发生的机率,对于均匀分布函数,概率密度等于一段区间(事件的取值范围)的概率除以该段区间的长度,它的值是非负的,可以很大也可以很小;分布函数是概率统计中重要的函数,正是通过它,可用数学分析的方法来研究随机变量。分布函数是随机变量最重要的概率特征,分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律,并且决定随机变量的一切其他概率特征。
2、描述对象不同:概率密度只是针对连续性变量而言,而分布函数是对所有随机变量取值的概率的讨论,包括连续性和离散型。
3、求解方式不同:已知连续型随机变量的密度函数,可以通过讨论及定积分的计算求出其分布函数;当已知连续型随机变量的分布函数时,对其求导就可得到密度函数。对离散型随机变量而言,如果知道其概率分布(分布列),也可求出其分布函数;当然,当知道其分布函数时也可求出概率分布。
简述分布函数f(x)的性质
分布函数(Cumulative
Distribution
Function,
CDF)是概率统计中重要的函数,正是通过它,可用数学分析的方法来研究随机变量。
F(x)为随机变量X的分布函数,其充分必要条件为:[1]
非降性
(1)F(x)是一个不减函数
对于任意实数
有界性
(2)
从几何上说明,将区间端点x沿数轴无限向左移动(即
),则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于不可能事件,从而其概率趋于0,即有
;又若将点x无限右移(即
),则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于必然事件,从而趋于概率1,即有
[2]
右连续性
(3)
;
证明:因为
F(x)是单调有界非减函数,所以其任一点x0的右极限F(x0+0)必存在。
为证明右连续,由海涅定理,只要对单调下降的数列
当
时,
证明
成立即可。
因为
:
所以得,
[3]
应用判断是否是分布函数
(1)设有函数,试说明F(x)能否是某个随机变量的分布函数。
注意到函数F(x)在
上下降,
不满足性质(1),故F(x)不能是分布函数.
(2)设柯西分布函数
它在整个数轴上是连续、单调严格递增的函数。且:
所以此函数满足分布函数的三条基本性质,故F(x)是随机变量X的一个分布函数。
随机变量的分布函数有什么性质
非降性、有界性、右连续性三个性质
1、非降性
F(x)是一个不减函数
对于任意实数
2、有界性
从几何上说明,将区间端点x沿数轴无限向左移动,即:
则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于不可能事件,从而其概率趋于0,即有
又若将点x无限右移,即:
则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于必然事件,从而趋于概率1,即有
3、右连续性
因为 F(x)是单调有界非减函数,所以其任一点x0的右极限F(x0+0)必存在。
扩展资料
对于任意实数
则有:
及:
因此,若已知X的分布函数,就可以知道X落在任一区间上的概率,在这个意义上说,分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。
如果将X看成是数轴上的随机点的坐标,那么,分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间
上。
参考资料来源:百度百科-分布函数
分布函数的性质
非降性、有界性、右连续性三个性质。非降性:F(x)是一个不减函数;有界性:F(x1)=F(x2), 如果x1=x2;右连续性:F(x+0)=F(x)。分布函数是随机变量最重要的概率特征,分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律,并且决定随机变量的一切其他概率特征。
分布函数的定义
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