实数的完备性是什么?

关于实数集完备性的基本定理

一 区间套定理与柯西收敛准则

定义1 区间套: 设 是一闭区间序列. 若满足条件

ⅰ） 对 , 有 , 即 , 亦即

后一个闭区间包含在前一个闭区间中;

ⅱ） . 即当 时区间长度趋于零.

则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 .

区间套还可表达为:

.

我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 和 , 其中 递增, 递减.

例如 和 都是区间套. 但 、

和 都不是.

区间套定理

Th7.1(区间套定理) 设 是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点 , 使对 有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点.

二 聚点定理与有限覆盖定理

定义 设 是无穷点集. 若在点 (未必属于 )的任何邻域内有 的无穷多个点, 则称点 为 的一个聚点.

数集 = 有唯一聚点 , 但 ;

开区间 的全体聚点之集是闭区间 ;

设 是 中全体有理数所成之集, 易见 的聚点集是闭区间 .

Th 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.

2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.

Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.

三 实数完备性基本订立的等价性

证明若干个命题等价的一般方法.

本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:

Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 区间套定理 C***chy收敛准则

确界原理 ;

Ⅱ: 区间套定理 致密性定理 C***chy收敛准则 ;

Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限复盖定理 区间套定理 .

一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ).

用“确界原理”证明“单调有界原理”:

Th 2 单调有界数列必收敛 .

2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:

Th 3 设 是一闭区间套. 则存在唯一的点 ,使对 有 .

推论1 若 是区间套 确定的公共点, 则对 ,

当 时, 总有 .

推论2 若 是区间套 确定的公共点, 则有

↗ , ↘ , .

3. 用“区间套定理”证明“C***chy收敛准则”:

Th 4 数列 收敛 是C***chy列.

引理 C***chy列是有界列. ( 证 )

Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅读 . 现采用三等分的方法证明, 该证法比较直观.

用“C***chy收敛准则” 证明“确界原理” ：

Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .

证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设 为非空有上界数集 . 当 为有限集时 , 显然有上确界 .下设 为无限集, 取 不是 的上界, 为 的上界. 对分区间 , 取 , 使 不是 的上界, 为 的上界. 依此得闭区间列 . 验证 为C***chy列, 由C***chy收敛准则, 收敛; 同理 收敛. 易见 ↘. 设 ↘ .有 ↗ .

下证 .用反证法验证 的上界性和最小性.

“Ⅱ” 的证明:

用“区间套定理”证明“致密性定理”:

Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.

证 （ 突出子列抽取技巧 ）

Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.

2．用“致密性定理” 证明“C***chy收敛准则” ：

Th 4 数列 收敛 是C***chy列.

证 （ 只证充分性 ）证明思路 ：C***chy列有界 有收敛子列 验证收敛子列的极限即为 的极限.

“Ⅲ” 的证明:

用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”:

用“Heine–Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:

什么是实数的完备性?

实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。

首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有***元素。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。

另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。

相关简介

实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。

实数的六大完备性定理是什么？

这六大定理分别为：确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理，还有一个柯西收敛准则。

实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，它们彼此等价，以不同的形式刻画了实数的连续性，它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具，在微积分学的各个定理中处于基础的地位。

7个基本定理的相互等价不能说明它们都成立，只能说明它们同时成立或同时不成立，这就需要有更基本的定理来证明其中之一成立，从而说明它们同时都成立。

引进方式主要是承认戴德金公理，然后证明这7个基本定理与之等价，以此为出发点开始建立微积分学的一系列概念和定理。在一些论文中也有一些新的等价定理出现，但这7个定理是教学中常见的基本定理。

扩展资料

实数系的公理系统

设R是一个集合，若它满足下列三组公理，则称为实数系，它的元素称为实数:

对任意a，b∈R，有R中惟一的元素a+b与惟一的元素a·b分别与之对应，依次称为a，b的和与积，满足：

1、（交换律） 对任意a，b∈R，有a+b=b+a，a·b=b·a。

2、（结合律） 对任意a，b，c∈R，有a+(b+c)=(a+b)+c，a·(b·c)=(a·b)·c。

3、（分配律） 对任意a，b，c∈R，有(a+b)·c=a·c+b·c。

4、（单位元） 存在R中两个不同的元素，记为0,1分别称为加法单位元与乘法单位元，使对所有的a∈R，有a+0=a，a·1=a。

5、（逆元） 对每个a∈R，存在R中惟一的元素，记为-a，称为加法逆元；对每个a∈R{0}，存在R中惟一的元素，记为a^(-1)，称为乘法逆元，使a+(-a)=0。a·a^(-1)=1。

参考资料:百度百科——实数公理

关于实数的完备性和实数的完备性公理的介绍到此就结束了，不知道你从中找到你需要的信息了吗 ？如果你还想了解更多这方面的信息，记得收藏关注本站。