什么是函数的有界性

函数的有界性指的是函数值取值范围的有限性,例如 正弦函数f(x)=sin x ,取值范围是 -1到1 ,是一个有限的范围,因此可以说这个函数有界,而 y=x 这个函数的取值范围是 R,是一个无限的范围,所以可以说这个函数无界.

用数学语言描述：存在M∈R,使任意x∈f(x)的定义域,都有 |f(x)| ≤M,则称函数f(x)有界。

怎样证明函数有界性？

判断方法：首先因为函数在开区间上连续，所以在开区间内部的任一闭区间上函数都有界。能不能再扩大到整个开区间上也有界，关键是看函数在右端点处的左极限和左端点处的右极限。

扩展资料：

在极限理论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、***值与最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续性定理。

其中，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，有多种方法可以证明此定理。比如可以利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准等。

我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理。

参考资料来源：百度百科-有界性定理

怎样判断函数的有界性，求具体判断步骤方法。

方法有3个：

1.理论法：若f(x)在定义域[a,b]上连续，或者放宽到常义可积（有限个***类间断点），则f(x)在[a,b]上必然有界。

2.计算法：切分(a,b)内连续

limx→a+f(x)存在limx→a+f(x)存在；limx→b−f(x)存在limx→b−f(x)存在 则f(x)在定义域[a,b]内有界。

3.运算规则判定：在边界极限不存在时

有界函数 ±± 有界函数 = 有界函数 （有限个，基本不会有无穷个，无穷是个难分高低的状态）

有界 x 有界 = 有界

扩展资料：

函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定联系的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。

在极限理论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、***值与最小值定理、介值定理、零点定理和一直连续性定理。其中，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，有多种方法可以证明此定理。

比如可以利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准等。我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理。

参考资料：百度百科：有界性定理

怎么判断函数的有界性?

1.理论法：若f(x)在定义域[a,b]上连续，或者放宽到常义可积（有限个***类间断点），则f(x)在[a,b]上必然有界。

2.计算法：切分（a,b)内连续limx→a+f(x)存在limx→a+f(x)存在；limx→b−f(x)存在limx→b−f(x)存在则f(x)在定义域［a,b]内有界。

3.运算规则判定：在边界极限不存在时，有界函数±±有界函数=有界函数（有限个，基本不会有无穷个，无穷是个难分高低的状态），有界x有界=有界。

函数的有界性

函数的有界性是数学术语。

设函数f(x)的定义域为D，f(x)在集合D上有定义。

如果存在数K1，使得f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。

反之，如果存在数字K2，使得f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。

如果存在正数M，使得|f(x)|≤M对任意x∈D都成立，则称函数在D上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在D上无界；等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得｜f(x1)|M，那么函数f(x)在X上无界。

此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。

函数的有界性和无界性的区别是什么？

有界：sinx和cosx在R上是有界的。

一般来说，连续函数在闭区间具有有界性。 例如: y=x+6在[1，2]上有最小值7，***值8，所以说它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。

无界：y=tanx在开区间（-π/2，π/2)上是无界。y=x，在R内无界。

无界函数，即不是有界函数的函数。也就是说，函数y=f(x)在定义域上只有上界(或只有下界)；或者既没有上界又没有下界，称f(x)在定义域上无界，在定义域无界的函数称为无界函数 。

扩展资料：

需要注意的是，有界函数的图形必介于两条平行于x轴的直线y=-M（下界）和y=M（上界）之间（当自变量为x时），笼统地说某个函数是有界函数或无界函数是不确切的，必须指明所考虑的区间。

另外，不能够把无穷大和一个很大常数混为一谈。无穷大一定是无界函数，但无界函数不一定是无穷大。

参考资料来源：百度百科-函数的有界性

百度百科-无界函数

函数的有界性？

根据图像，在区间(1,2)上是单减的，

且其值域为y∈(1/2,1)

所以，函数是有界的。

所谓有界，就是函数的值y,满足

|y|≤M,

其中M为某一常数，显然，当M取1时，对于本题是满足的。所以函数在(1,2)

上有界

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